S’il y a un domaine qui questionne de nombreux professeurs, c’est bien la résolution de problèmes. Pour cette année scolaire 2017/2018, j’avais décidé de m’y pencher un peu plus en détail. C’était aussi, d’ailleurs, un des nouveaux points au cœur du projet d’école de l’établissement où j’enseigne. La résolution de problème est, en fait, un grand classique des projets d’école tant il est difficile d’amener les élèves à réussir dans ce domaine.

Du coup, j’ai lu, j’ai cherché sur la toile ce qui se faisait, j’ai bouquiné mais j’ai aussi eu la chance d’échanger avec quelques collègues grâce aux réseaux sociaux. On lit un peu de tout et parfois son contraire. On peut rencontrer des avis très tranchés sur bien des questions. Parfois, au contraire, c’est l’incertitude qui règne. Dans les échanges, j’ai pu remettre en cause certaines pratiques que je considérais comme évidentes.

Au final, je n’ai pas encore le sentiment de maitriser le sujet dans son ensemble. Cependant, je vais essayer, par cet article, de partager avec vous quelques unes de mes réflexions sur le sujet.

J’espère que cet article suscitera des réactions et des échanges. N’hésitez pas à donner votre avis ou partager votre expérience en commentaire de l’article. Nos discussions pourront ainsi bénéficier à tous les lecteurs. Vous pouvez bien sûr réagir aux commentaires des autres. Il est tout à fait possible (et souhaité) que cet article évolue en fonction de nos échanges.

Problèmes types ou situations-problèmes ?

Les situations-problèmes

A l’IUFM (ex-ESPE), on ne cessait de mettre en avant les situations-problèmes. Ces situations semblaient être la panacée pour régler presque tous les problèmes… que pose la résolution de problèmes ! Si je devais définir ce que j’en ai retenu, je dirais qu’une situation-problème est une situation qui pose un problème complexe : la réponse ne peut en aucun cas être évidente et instantanée. Elle demande à l’élève de puiser dans ses connaissances et compétences pour développer (inventer et mettre en oeuvre) un processus de résolution complexe. Complexe signifiant composé de multiples éléments qui entretiennent de nombreuses relations entre eux, et non « compliqué » ou « difficile ». Dans cette situation, l’élève apprend en (re)créant le savoir ou savoir-faire dont il a besoin.

L’intérêt des situations-problèmes

Le principal intérêt des situations-problèmes réside peut-être dans le fait qu’elles obligent l’élève à chercher. Elles l’habituent à construire des stratégies, transférer (et donc consolider) des compétences et à faire preuve de persévérance. Elles ne reposent pas sur l’application « bête et méchante » d’une méthode. Elles valorisent la créativité et la souplesse de l’esprit. Les élèves sont amenés à ne pas cloisonner leur pensée et leur perception du problème ou des éventuelles solutions.

Aussi, des élèves habituellement très bons, car très scolaires, vont être poussés à aller plus loin et apprendront peut-être à accepter une difficulté à laquelle ils sont peu confrontés sinon. Les élèves plus en difficulté habituellement peuvent aussi surprendre par leur esprit pratique et être valorisés parce qu’ils ont l’habitude de prendre des chemins détournés.

Enfin, les situations-problèmes poussent l’élève à apprendre par lui-même. Il découvre la solution en autonomie (ou en groupe). Cela signifie que l’enseignant n’est plus celui qui apporte la méthode. Celui-ci devient un médiateur : il accompagne, aide, questionne, valorise mais ne donne ni la réponse, ni la marche à suivre. Là encore, on sort des sentiers battus car l’élève est beaucoup plus actif. C’est dans ce genre de contexte qu’on parle d’élève « acteur de ses apprentissages ». Et on sait que dans ce contexte, les élèves retiennent mieux ce qu’ils ont découvert.

D’ailleurs, découvrir par soi-même est aussi beaucoup plus valorisant. Les situations-problèmes sont donc un levier pratique dans la construction d’une estime de soi positive. Le petit plus ? On peut trouver de nombreuses situations-problèmes authentiques dans le cadre de projets. De quoi augmenter davantage l’engagement et la motivation des élèves.

Pour reprendre un peu tout cela, citons Philippe Meirieu :

La situation-problème est parfois, effectivement, utilisée comme une énigme ou une simple accroche. En réalité, ses éléments structurants sont une question, un enjeu, un vrai problème qui se pose, un tâtonnement, une recherche, une confrontation entre pairs, l’émergence d’un obstacle, l’identification des ressources et le repérage de celles qui vont permettre de surmonter l’obstacle. Et puis, point très important sur lequel j’ai insisté dans d’autres ouvrages, la formalisation des acquis et, à travers celle-ci, la question du transfert.Philippe Meirieu

Quelques limites des situations-problèmes

Si les situations-problèmes sont si merveilleuses et riches, pourquoi ne passons-nous pas notre temps à en proposer ? Eh bien, peut-être d’abord parce que mettre en oeuvre une véritable situation-problème n’a rien de facile. Souvent, on pense avoir trouvé une situation-problème, on la met même parfois en place et, en creusant, on réalise qu’en fait, nous nous sommes égarés.

Par exemple, un problème à étapes n’est pas forcément une situation-problème, même si la réponse n’est pas immédiate. Rappelons que la situation-problème est une situation complexe, avec un cheminement complexe, mais aussi une situation dans laquelle l’élève lui-même construit et développe ses apprentissages.

En bref, même quand on a la volonté de mettre en place une situation-problème, on peut être facilement amené à faire fausse route. Pour y arriver, du coup, cela demande des efforts, du temps et de la réflexion. Dans l’idéal, nous devrions disposer de tout cela mais dans les faits, la plupart d’entre nous se retrouve vite débordée si elle essaye de ne faire que ça. Cependant, avec la pratique, on y arrive de mieux en mieux et, comme pour toute chose, on devient plus efficace.

Reste un autre obstacle : les programmes ou, plus précisément, les programmations. Eh oui ! Pour être certains d’aborder tout le programme, nous sommes nombreux à rédiger des programmations. Pour certains, c’est un outil rassurant (ou structurant), pour d’autres c’est la réponse à une demande de l’IEN. Cela dit, dans le cadre des situations-problèmes, il n’est pas toujours aisé de cibler précisément ce que seront amenés à découvrir les élèves. Ils peuvent partir sur le chemin que nous espérions les voir emprunter ou en choisir un tout autre ! Cela nous contraint à remanier régulièrement ce qui était prévu ensuite et semble nous faire prendre le risque de passer à côté d’un ou plusieurs éléments des programmes.

Enfin, certains s’y seront peut-être essayé et auront sans doute remarqué que tous les élèves ne se saisissent pas facilement de ce type de dispositif. Même en optimisant les groupes, en étayant et médiatisant les démarches, certains élèves semblent passer à côté. Cependant, je crois (et ce n’est qu’une croyance) que plus on confronte les élèves à des situations-problèmes, plus ils parviennent à entrer dans cette démarche.

Les problèmes types

Avant toute chose, précisons que je ne sais pas s’il s’agit de la « juste appellation » de l’idée. Je vais donc essayer de définir ce qu’est un « problème type » pour moi dans cet article.

La plupart du temps, on aborde un nouveau type de problème lorsqu’on étudie l’opération associée (addition, soustraction, multiplication, division) ou la notion utile pour le résoudre (fractions, périmètre, aire, etc.). On peut aussi, bien sûr, les voir avant d’apporter une solution experte grâce à la découverte d’une nouvelle notion. C’est ce qu’on fait en CP quand on fait des problèmes de partage (la solution experte n’arrivant que bien plus tard). Dans tous les cas, cette étude nous mène, implicitement ou explicitement, à définir une sorte de nomenclature des différents problèmes pouvant être rencontrés. Ainsi, l’élève aura pour mission d’identifier le « type » de problème qu’il rencontre pour définir la démarche à suivre parmi toutes celles qu’il a étudiées.

Si les problèmes types n’excluent pas une phase de recherche et de découverte, ils supposent une forte importance accordée à l’entrainement (identification et application de la bonne démarche) afin de créer des automatismes efficaces chez les élèves.

De même, les problèmes types ne sont pas toujours des problèmes simples : on peut très bien imaginer des problèmes à étapes mais où chaque étape correspond à un type de problème précis. On pourrait peut-être parler de problèmes types composés. Cela ne suffit pas à parler de situation-problème parce qu’il n’y a pas cette volonté de placer l’élève face à l’inédit pour qu’il trouve ses propres solutions. Il s’agit toujours d’identifier, parmi des procédures déjà connues, celle qui s’applique dans le contexte proposé.

L’intérêt des problèmes types

Le premier intérêt que verront peut-être certains est que les problèmes types sont rassurants : on sait ce qu’on aborde, quand on l’aborde et de quelle manière on l’aborde. Plus facile alors de s’organiser et de garantir que tous auront vu tous les points voulus. On rétorquera peut-être que c’est un intérêt pour l’enseignant avant tout mais je répondrais que ce qui profite à l’enseignant peut aussi profiter aux élèves. On sera certain que les élèves auront pu aborder tout un éventail de problèmes et il sera plus aisé de leur proposer une continuité dans les apprentissages au fil des années.

Ces problèmes ne sont donc pas non plus sans intérêt du point de vue de l’apprenant. D’abord, en partant d’énoncés plutôt simples, on s’assure que tout le monde entre dans la tâche. Ensuite, ces problèmes types sont une parfaite occasion d’expliciter un maximum de choses, tant du point de vue de la méthodologie de résolution de problèmes que des différents types qui existent.

Ils permettent d’accompagner un maximum les élèves en contrôlant les éléments et processus qui restent à leur charge. Ainsi, on peut cibler plus finement un objectif d’apprentissage. Le transfert dans les contextes les plus proches peut être guidé ou orienté, permettant de mettre en avant des similarités et donc des éléments qui rendront l’identification du type de problème plus efficace. Avec un tel fonctionnement, pensé de manière progressive, les élèves sont capables de résoudre un nombre croissant de problèmes.

Quelques limites des problèmes types

Un élève peut avoir vu des dizaines de types de problème et ne pas forcément réussir à transférer ce qu’il aura appris dans un contexte similaire. C’est vrai lorsque le pas à franchir pour aller du stock de situations connues vers cette nouvelle situation est trop grand pour l’élève. C’est aussi vrai quand l’élève n’arrive pas à prendre de la distance avec le problème pour en analyser les éléments caractéristiques. La difficulté peut donc résider dans le problème choisi lui-même, se trouver du côté de l’élève et de sa capacité à prendre du recul ou encore dans la rencontre entre ce problème et cet élève précis, à un moment donné où le contexte n’était pas favorable à sa réussite.

Les problèmes types, en soit, ne suffisent pas à assurer des acquisitions solides et opérantes, qui pourront être transférées à d’autres contextes. Aussi, enchainer des problèmes les uns après les autres ne permettra pas nécessairement à tous de progresser. L’explicitation au maximum me semble nécessaire et incontournable. Pour autant, elle ne garantira tout de même pas que tous les élèves soient en réussite. Les problèmes types, comme tout autre type d’exercice d’ailleurs, ne font pas de miracles.

Le problème est aussi que tous les élèves ne vont pas réagir de la même façon face à la difficulté. Certains chercheront à tout prix « la bonne réponse », celle attendue par le professeur, et se bloqueront complètement. Cette conviction qu’il existe une seule et unique « bonne réponse » est fortement nourrie par une approche systématique comme on en adopte avec les problèmes types. Un problème relève d’un type et d’un seul et n’accepte donc qu’une seule démarche et une seule réponse. Pour le résoudre, on suit une méthodologie précise et, si l’on bloque dès la première étape, il devrait être impossible d’aller plus loin. Conclusion : si je bloque dès le début, je n’ai plus d’outils pour avancer et donc je m’arrête. C’est en tout cas ce qu’ont tendance à penser beaucoup d’élèves.

Or, dans la vie quotidienne, ça ne fonctionne pas du tout ainsi. Il est souvent possible de prendre plusieurs chemins pour arriver à un résultat satisfaisant lorsqu’on est confronté à un problème. Je trouve que la distinction entre « problèmes pratiques » et « problèmes mathématiques » que fait Catherine Houdement très parlante (voir « Le choix des problèmes pour la résolution de problèmes« ). Quel que soit le type de problème, cela dit, celui qui se bloque ne peut pas réussir.

Situation-problème ou problèmes types ?

Je pense que vous l’aurez compris en lisant mon descriptif : les deux bien sûr. En tout cas, c’est la conclusion à laquelle j’arrive à chaque fois que j’essaye d’avancer sur ce point.

En début de carrière, je concentrais mes efforts presque uniquement sur les situations-problèmes, avec plus ou moins de succès. Malheureusement, j’avais toujours le sentiment de laisser des élèves sur le carreau et m’étonnait de ne voir que très peu de progrès du côté des problèmes mathématiques classiques.

J’ai aussi eu une période où j’ai réduit considérablement le nombre de ces situations-problèmes pour me concentrer sur une approche plus méthodique, organisée et cadrée. Abordant une à une les différentes possibilités de problèmes types, j’ai pu observer des progrès remarquables chez les élèves en général. En m’appuyant énormément sur les manipulations, la réalisation de schémas types et l’explicitation des critères d’identification d’un problème, on arrivait à de très bons résultats. Néanmoins, cette approche a ses limites : dès qu’on sort un peu trop du cadre, toutes ces connaissances accumulées semblent inaccessibles à certains. D’autres paraissent paralysés. De plus, autre point regrettable : les élèves proposaient parfois des solutions aberrantes sans s’en rendre compte. L’approche des problèmes était trop « mécanique ». Enfin, ajoutons que selon le dispositif choisi, les élèves les plus efficaces peuvent rapidement s’ennuyer (ou les plus lents être dépassés). Une réflexion sur la différenciation me semble nécessaire.

Si « problèmes pratiques » et « problèmes mathématiques » sont distincts, je crois qu’ils peuvent aussi être en lien. De bonnes connaissances mathématiques pourront aider à résoudre des problèmes d’ordre pratique, dans le cadre d’un projet par exemple. Les capacités d’abstraction pourront améliorer l’efficacité de la compréhension et du traitement d’une situation. De même, une représentation concrète appuyée sur une expérience pratique pourra faciliter la résolution d’un problème purement mathématique. En somme, je crois qu’on gagne à ne pas se limiter à une seule approche mais à travailler par ces deux-là.

Les types de problèmes

Je n’ai pas prévu de détailler les situations-problèmes ici car je crois que cela pourrait faire l’objet d’un article entier tant le sujet est vaste. Je vais donc me concentrer sur ce que j’ai appelé les « problèmes types ».  Les problèmes types sont donc des problèmes qui s’inscrivent dans une nomenclature des différents types de problèmes existant. Ils en sont des archétypes en général identifiables rapidement (pour un élève suffisamment entrainé, rien n’est inné en la matière).

Les problèmes de calcul

Quand on pense aux problèmes, on pense en général aux problèmes de calcul : ceux où il faut réaliser un calcul pour trouver la réponse. Et pour cause, la plupart des problèmes rencontrés à l’école sont des problèmes de calcul. Il est donc important d’être au point avec les quatre opérations étudiées en élémentaire et leur sens. J’insiste tout particulièrement sur l’addition et la soustraction qui sont loin d’être aussi simples qu’elles peuvent sembler l’être. Ce sont d’ailleurs peut-être les opérations qui cachent le plus de situations différentes possibles.

J’ai souvent eu besoin de la liste des différentes situations où l’on recourait à une certaine opération. Aussi, je partage avec vous celle que je me suis constituée au fil des lectures et des années. Je l’ai simplifiée au possible pour éviter les redondances tout en essayant de n’oublier aucun type de problèmes.

Ça commence à faire un moment que je n’ai plus enseigné en cycle 3. Cela dit, la lecture de ce travail proposé par Kevin Gueguen pourra compléter de manière plus détaillée cet article. Il va beaucoup plus loin dans le domaine multiplicatif. Il est aussi instructif pour le cycle 2 d’ailleurs car la typologie y est beaucoup plus détaillée et prend en compte les compositions.

L’addition

L’addition est utilisée quand :

  • on avance
  • on réunit deux ou plusieurs collections (d’éléments pouvant être réunis)
  • on effectue une transformation positive (ajout) et on cherche l’état final
  • on effectue une transformation négative (retrait) et on cherche l’état initial
  • dans une situation de comparaison, on cherche la quantité la plus grande (le plus)

Résoudre des problèmes avec l'addition : quand l'utiliser ?

La soustraction

La soustraction est utilisée quand :

  • on recule
  • on cherche une différence
  • dans une situation de comparaison, on cherche la quantité la plus petite (le moins)
  • on effectue une transformation négative (retrait) et on cherche l’état final
  • on effectue une transformation positive (ajout) et on cherche l’état initial
  • on effectue une transformation positive (ajout) ou négative (retrait) et on cherche combien a été ajouté/retiré (différence entre état initial et final)
  • on cherche la partie d’un tout

Résoudre des problèmes avec la soustraction : quand l'utiliser ?

 

La multiplication

La multiplication est utilisée quand :

  • on réunit plusieurs collections équipotentes (plusieurs fois la même chose : X groupes de Y éléments)
  • on répète plusieurs fois la même quantité (X fois Y)

On l’utilise aussi dans le calcul de périmètres, d’aires ou de volumes de certains polygones ou solides. Les situations de proportionnalités font intervenir la multiplication.

Résoudre des problèmes avec la multiplication : quand l'utiliser ?

La division

La division est utilisée quand :

  • on partage en X groupes/collections (situation de partage)
  • on effectue des groupements de Y éléments (situation de groupement)

La division est évidemment en lien avec les fractions et les pourcentages.

Résoudre des problèmes avec la division : quand l'utiliser ?

Les autres problèmes

Les problèmes sans calculs

Même si, avec ces quelques situations, on recouvre une très grande partie des programmes, on n’a tout de même pas tout vu. Il existe des problèmes où la solution ne peut être trouvée par un calcul, en tout cas en élémentaire. Certains problèmes nécessiteront un tracé géométrique, d’autres ne pourront se passer d’un schéma et d’autres encore feront avant tout fonctionner la logique. Ce n’est pas parce que je ne les détaille pas ici qu’ils ne sont pas importants.

On pourra aborder ce type de problèmes grâce à des situations-problèmes mais aussi par des problèmes plus simples et stéréotypés qu’on intégrera dans notre programmation annuelle. Si vous manquez d’inspiration, je trouve que les mallettes enigmaths, bien qu’assez coûteuses, sont très intéressantes pour ces problèmes. J’en parlerai un peu plus loin.

La forme des problèmes

Il ne faudrait pas non plus oublier qu’un problème peut prendre plusieurs formes. Il n’est pas obligatoirement un texte suivi d’une question. C’est quelque chose qui est tout particulièrement travaillé au sein du dispositif « m@ths en-vie« . On y fait le lien avec le quotidien tout en s’appuyant sur de nombreuses photographies (prises par les élèves il me semble) ou sur les objets qui nous entourent. J’ai très envie de me pencher sur ce dispositif pour l’année prochaine.

On pourra aussi s’orienter vers des rituels courts pour travailler les problèmes régulièrement. La Méthode Heuristique en Mathématiques (MHM) propose d’ailleurs une boite à énigmes où les problèmes de calcul sont construits autour d’images.

Quel déroulement pour résoudre des problèmes ?

En dehors du type de problème abordé, qu’il s’agisse d’un problème type ou non d’ailleurs, on s’efforce en général d’apporter des éléments méthodologiques aux élèves afin qu’ils gagnent en autonomie et en efficacité lorsqu’ils sont confrontés à un problème. En général, si vous cherchez sur les blogs voire dans les manuels, vous trouverez un consensus important pour un déroulement que j’ai appelé « le déroulement classique ». C’est celui auquel on recourt en général tous, même sans s’être concertés sur le sujet.

On pourrait être tenté de croire que c’est donc un déroulement évident et qui a fait ses preuves. Pourtant, certains points gagneraient à être approfondis.

Le déroulement classique

Commençons par aborder le déroulement le plus fréquemment rencontré. Je l’ai moi-même déroulé en cinq étapes que vous retrouverez dans mon livret d’aide à la résolution de problèmes ou mon affichage pour aider à la résolution de problèmes.

  1. Je lis l’énoncé et je le comprends (avec manipulation et/ou schéma).
  2. Je lis la question et je me demande ce que je cherche.
  3. Je cherche les informations utiles.
  4. Je cherche l’opération à réaliser (si besoin).
  5. Je relis la question et j’écris une phrase de réponse.

Il me semble que ce déroulé parle de lui-même. Si vous souhaitez en savoir plus sur celui-ci, je vous invite à relire l’article et le descriptif du livret d’aide à la résolution de problèmes.

Manipulation ou schéma ?

Là encore, je me suis d’abord appuyée sur une évidence : on manipule pour comprendre, on schématise pour glisser vers l’abstraction et on écrit ensuite le calcul. Plus les élèves sont jeunes, plus la place de la manipulation est importante et plus ils grandissent, plus leur capacité d’abstraction est importante.

En suivant la méthode « J’apprends les maths (CE1) » de Rémi Brissiaud (programmes 2008) aux éditions Retz, il m’a semblé qu’on allait encore plus loin en orientant progressivement l’élève vers des représentations stéréotypées redoutablement efficaces pour trouver la réponse.

Les schémas

Pourtant, en lisant l’introduction de « Résoudre des problèmes CE1 » aux éditions Retz aussi, je me suis rendue compte que le schéma n’est pas une évidence pour tous les chercheurs ou pédagogues. L’une des critiques qui y sont faites par l’auteur est que si l’élève dessine un schéma, il n’a souvent plus besoin du calcul. De ce fait, il risque de ne pas faire le lien entre un certain type de situation et le choix de l’opération dont il ne ressent pas la nécessité. L’auteur, Christian Henaff, préfère donc passer directement de la manipulation au calcul.

Faire résoudre les problèmes par le schéma n’est pas une stratégie pertinente pour tous les élèves ; elle est même risquée pour les plus fragiles. Il est conseillé de ne l’utiliser que pour les élèves les plus performants et pour faciliter la mise en oeuvre des premières séances … Et en considérant alors que comme la manipulation, la résolution par le schéma ne doit être qu’une phase de l’apprentissage.Christian Henaff

Ma réflexion a donc commencé à partir de ce point. Le schéma me semble présenter un premier obstacle de taille : il présente le déroulé de l’histoire à un instant T et ne permet que difficilement de représenter une évolution dans le temps. Aussi, tous les énoncés qui présentent une variable temporelle deviennent difficile à schématiser (quand il y a un état initial, une transformation et un état final). La représentation schématique n’est donc généralement pas spontanée, parfois peu lisible et de ce fait souvent peu utile. Pour ces problèmes en tout cas, je suis plutôt convaincue que le schéma n’est pas ce qu’il y a de plus efficace, au moins dans un premier temps.

Cela dit, apprendre aux élèves à représenter ce type d’énoncé ne m’apparait pas non plus sans intérêt. Ce n’est pas contraire aux propos de Christian Henaff :

[…] la réalisation du schéma nécessite un apprentissage. En effet, pour être efficace, un schéma doit être soigné (pour que tous les éléments soient bien visibles) et organisé (les groupements par 10 doivent être systématisés). Sinon les erreurs y sont fréquentes et finissent par décourager les élèves.Christian Henaff

Les manipulations

Maintenant, quel intérêt de passer directement de la manipulation au calcul, sans passer par la case schéma ? Après tout, la manipulation aussi peut apporter un résultat sans qu’on ait besoin de calculer.

Si j’ai un énoncé avec 6 unités au départ et que j’enlève 2, je peux manipuler des jetons et trouver 4 sans savoir ce qu’est une soustraction et sans savoir en calculer.

Il me semble que Stella Baruk dit, de ces situations, que nous ne sommes pas dans le champ des mathématiques. En effet, il s’agit d’une réponse purement empirique. Un enfant de maternelle pourra donner le même résultat de cette manière.

C’est encore Christian Henaff qui répond à mes questions :

[…] certains élèves éprouvent des difficultés à substituer les procédures numériques à leurs schémas. C’est ainsi que des élèves de cycle 3 dessinent les images pour trouver « combien d’images font 6 paquets de 5 ». Pourquoi alors se contraindre à apprendre des répertoires ? Pourquoi mettre en oeuvre des procédures de calcul si le schéma permet de dénombrer ?

À l ‘inverse, les élèves habitués à manipuler sont bien obligés, lorsqu’on ne leur donne plus de matériel, de basculer vers les procédures numériques qui leur sont enseignées.Christian Henaff

La réponse semble double. D’abord, sur le court terme, la manipulation présente l’intérêt d’être « éphémère » : une fois la manipulation faite, il ne reste que la situation finale. Or, dans la trace écrite, il faudra bien pouvoir transmettre le déroulement. C’est le rôle de l’opération. Elle est capable de traduire une transformation ou une manipulation. Ensuite, sur le long terme, l’habitude de la manipulation pousserait les élèves à s’orienter vers les procédures numériques dès lors qu’on leur retire la possibilité de manipuler. Les élèves vont alors manipuler mentalement des nombres au lieu de manipuler physiquement des objets.

La question des quantités

La question des quantités, ou plutôt de la grandeur des nombres en oeuvre, me semble intéressante à ce point de ma réflexion. Lorsqu’on travaille la résolution de problèmes, il me semble qu’on s’appuie sur le connu mais que notre objectif n’est pas d’entrainer les techniques de calcul ou les connaissances en numération. Certes, l’élève devra pouvoir, à terme, croiser toutes ces connaissances pour résoudre un problème mais il me semble aussi important de cibler ses objectifs pour organiser efficacement les apprentissages.

Aussi, je suis assez d’accord avec Christian Henaff lorsqu’il dit qu’il vaut mieux, en CE1, travailler sur de petites quantités lorsqu’il s’agit de problèmes. Le but est avant tout que l’élève automatise le traitement de certaines situations (problèmes types) et non qu’il se perde dans les nombres, qu’il maitrise parfois de manière insuffisante à ce niveau.

Cependant, il faut aussi reconnaitre que tant que les nombres sont petits et que la manipulation est permise, on en revient au problème ci-dessus : schéma comme manipulation donnent le résultat aussi surement qu’un calcul (si ce n’est plus surement pour certains élèves). Je crois donc que l’on peut, lorsque les élèves semblent prêts*, aborder des quantités plus importantes. Ce sera l’occasion d’aborder certaines techniques qu’on travaille trop rarement de manière explicite comme le fait de réfléchir d’abord sur des quantités plus petites pour transposer notre méthode à des nombres plus grands.

Quoiqu’il en soit, quand les quantités augmentent, la manipulation n’est plus une réponse adéquate. C’est encore plus vrai quand on commence à toucher à des nombres plus difficiles à représenter par du matériel comme les nombres décimaux. Notons que je n’ai pas dit que ces représentations étaient impossibles, bien sûr.

* Ce n’est peut-être pas forcément en CE1 et c’est peut-être intégré dans la démarche « Résoudre des problèmes » des années suivantes. Je n’ai pas lu l’ensemble des ouvrages de la méthode.

La place de la question

Tout a commencé pour moi par une affirmation lancée un peu abruptement sur Facebook : « On ne commence pas par lire l’énoncé ! ». J’imagine que votre perplexité est à la hauteur de la mienne face à une telle assurance. Mais alors, on commence par quoi ? Ce n’est que plus tard que tout cela a pris sens pour moi, à la lecture d’une note de bas de page de Catherine Houdement dans son article Le choix des problèmes pour la « résolution de problèmes » :

Une fois la question lue, il est souvent nécessaire de relire l’énoncé pour en retirer des informations nécessaires au traitement : FAYOL (L’enfant et le nombre, 1990, page 174) note que le placement en tête de la question entraîne une amélioration systématique des réussites aux problèmes additifs pour tout type de problème et tout âge.Catherine Houdement

En discutant sur Twitter, cette fois-ci, j’ai réalisé à quel point commencer par la question pouvait potentiellement être efficace. Eh oui ! Pour l’heure, mes élèves lisent l’énoncé, puis la question, puis relisent l’énoncé. En tout cas, en théorie. Cependant, j’ai déjà remarqué que quelques élèves répondent à la question à partir de leurs souvenirs de l’énoncé et non à partir d’une relecture. Il s’agit d’une économie de moyens et de temps qui donne des résultats très aléatoires.

Dans « Résoudre des problèmes CE1 » aux éditions Retz, l’auteur (Christian Henaff) explique qu’un élève efficace en résolution de problèmes n’a pas vraiment besoin de lire la question : lorsqu’il a lu et compris l’énoncé, il a déjà su en déduire la question qui allait être posée.  Il dit, plus précisément :

Le lecteur expert sait avant de lire la question sur quoi elle peut porter, sa lecture ne faisant que confirmer son attente.Christian Henaff

Cela rejoint d’ailleurs les propos de Catherine Houdement (Le choix des problèmes pour la « résolution de problèmes ») :

Il est difficile d’établir une chronologie entre ces différentes actions : la prise d’informations, la représentation du problème (la compréhension du contexte et de la consigne) et le traitement de la question évoluent simultanément : ce qui remet en cause le caractère préalable de la sélection des informations nécessaires ou de l’élimination des informations superflues.Catherine Houdement

La place de la question dans le traitement du problème, avant ou après la lecture de l’énoncé, se pose vraiment et me semble pertinente. Du point de vue des étapes de la résolution du problème, rien ne semble permettre de placer la lecture de l’énoncé avant ou après la lecture de la question. La lecture de l’énoncé crée une attente du point de vue de la question et la lecture de la question oriente la compréhension de l’énoncé. Cependant, les recherches de Michel Fayol semblent indiquer que le fait de placer la question avant l’énoncé augmente significativement le taux de réussite des élèves.

Je me suis naturellement demandé comment expliquer ce résultat. Je trouverais surement la réponse en lisant « L’enfant et le nombre. Du comptage à la résolution de problèmes« . Cela dit, en attendant, ma propre expérience m’éclaire déjà un peu. Si l’élève doit lire l’énoncé puis la question puis relire l’énoncé, il aura tendance à sauter l’étape de la relecture. Il le fera soit par souci d’économie de moyens, soit parce qu’il aura l’impression qu’il a déjà suffisamment bien lu l’énoncé. Chaque fois qu’il relira l’énoncé alors qu’il l’avait bien compris la première fois, il renforcera le sentiment que cette relecture est inutile. De même, chaque fois qu’il ne relira pas l’énoncé et réussira tout de même à résoudre le problème, il renforcera cette impression. Petit à petit, il en viendra à ne plus relire l’énoncé avec le risque que cette baisse de vigilance le mène à l’erreur.

Quelques étapes supplémentaires pour aller plus loin

On en vient à un élément essentiel de la réussite en mathématiques sur le long terme : la rigueur. Certes, les mathématiques sont une source de plaisir, d’émerveillement et parfois d’amusement. Cependant, tout cela ne peut avoir lieu que dans un certain cadre : on ne peut pas faire n’importe quoi. C’est aussi vrai pour bien des disciplines d’ailleurs.

Aussi, je crois qu’il est important que l’élève réalise qu’avec les mathématiques, on ne peut pas faire comme ça nous chante, sans quoi elles ne servent à plus rien. Donc, si on entend résoudre un problème grâce aux mathématiques, on doit s’appliquer à une certaine rigueur. Cette rigueur, en élémentaire, devrait au moins consister à respecter certaines procédures mais aussi à être capable de vérifier l’exactitude ou au moins la vraisemblance d’un résultat.

Il s’agit en fait de ne pas déconnecter le résultat (numérique en général) du contexte dans lequel on l’a cherché. Là, je n’ai que des pistes mais aucune réponse assurée à apporter vraiment :

  • Travailler sur l’estimation d’un résultat avant de se lancer dans le calcul pour pouvoir s’appuyer dessus en vérification.

Malheureusement, c’est un travail très long et difficile à mener. Il doit aussi être précisé : est-ce qu’on cherche un ordre de grandeur à partir de l’énoncé ou de l’opération qu’on en aura déduite ? Parfois, cela revient au même mais pas toujours. Or, si l’élève part de l’opération, il pourrait très bien se dire : « A quoi cela me sert-il d’estimer le résultat puisque le calcul va m’apporter quelque chose de plus précis ? »

  • Relire l’énoncé et la question pour vérifier qu’on y répond.

Mais dès qu’on parle « relecture », on a toujours un certain nombre d’élèves qui tentent de prendre un raccourci en sautant cette étape. On a alors régulièrement des élèves qui ont un bon raisonnement, un bon résultat mais, malheureusement, une phrase qui ne répond pas du tout à la question posée.

Si vous avez des pistes, des idées (originales ou non), je suis preneuse !

Des lectures et des supports

Comme vous l’aurez compris, je n’ai pas sorti toutes ces réflexions de mon chapeau magique. Certaines viennent de ma pratique mais beaucoup sont venues de lectures et d’échanges. Pour que cet article reste un minimum lisible, je n’ai pas pu tout aborder dans le détail. Aussi, je ne saurais que trop vous conseiller de compléter la lecture de cet article par celle des documents et ouvrages qui m’ont inspirée.

Des lectures théoriques et méthodologiques

Je n’ai lu que peu d’ouvrages généralistes sur la question de la résolution des problèmes. Je peux tout de même citer :

Notre ministre, JM. Blanquer, si l’on en croit le café pédagogique, publiera bientôt une note sur la résolution de problèmes. Rien de nouveau sous le soleil diront la plupart après lecture de ce document. Cela dit, il éclairera peut-être ceux qui entrent tout juste dans le métier ou s’apprêtent à le faire.

Des supports pour travailler les problèmes

Commençons par l’un des ouvrages les plus cités dans cet article : Résoudre des problèmes au CE1 aux éditions Retz. Il s’agit d’une méthode clés en mains pour travailler les problèmes de calcul de manière structurée. La méthode existe aussi pour les niveaux supérieurs et est, sans doute, toute aussi intéressante dans ces niveaux-là.

Cette année, j’ai pu tester la mallette Enigmaths CE2 de Jocatop que nous avons acquis avec l’école. S’agissant d’un investissement important, il vaut mieux effectuer un achat d’école plutôt que de l’acquérir avec votre budget de classe si vous le pouvez. Sur le site Jocatop, vous pourrez demander à un représentant de venir avant la fin de l’année pour effectuer une commande pour l’année prochaine, par exemple. C’est encore le mieux pour voir le produit avant achat. La mallette propose des problèmes très variés. J’ai regretté le peu de problèmes de calcul mais j’ai apprécié la grande quantité d’autres types de problèmes (logique, schémas, repérage, géométrie, numération, etc.). Les problèmes trouvent rarement une réponse rapide et évidente, ce qui habitue les élèves à chercher.

On peut aussi s’orienter vers la méthode de mathématiques complète MHM (Méthode Heuristiques de Mathématiques). Si le site est déjà très riche, il me semble important d’acquérir le guide du maitre qui, pour un coût très raisonnable, me semble proposer des fondements solides pour l’enseignement des mathématiques et donc des problèmes. A noter que tout le reste est gratuit ! Je ne vais pas vous mentir : je n’ai pas encore approfondi cette méthode mais tout ce que j’en ai vu me pousse à vouloir la mettre en place à la rentrée prochaine.

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