Pour comprendre les nombres et les liens qu’ils entretiennent avec les quatre opérations, il me semble important de les manipuler. On manipule donc des quantités. Cependant, pour y voir plus clair, ces quantités doivent s’organiser. Pour cela, on recourt en général à des représentations. Rémi Brissiaud conseille d’ailleurs d’utiliser des représentations stéréotypées dès le CP (voir mon article “La construction du nombre en cycle 2“). La représentation que je vais présenter ici est un grand classique, qui n’est pas forcément celle choisie par R. Brissiaud d’ailleurs. On la retrouve dans de nombreuses méthodes et elle s’avère particulièrement utile.

Il s’agit de représenter une multiplication avec des lignes et des colonnes d’unités (des jetons, des ronds ou des cases, cela revient au même).

Mais l’outil que je vais vous présenter aujourd’hui a une particularité : il joue sur la transparence afin de mettre en valeur quelques propriétés de la multiplication et des produits. On pourra, par exemple, facilement observer la commutativité. Il est aussi possible d’observer les liens qui existent entre différentes tables.

Le support : des cartes transparentes

L’originalité de cet outil réside plutôt dans le support choisi pour l’impression que dans sa conception numérique. Il s’agit de fiches très simples, comme celle présentée ci-dessus. On y voit une multiplication et sa représentation au-dessus. Le résultat n’apparait pas car ce n’est pas du tout l’objectif de cet outil.

Pour l’utiliser, dans l’idéal, on peut imprimer sur du plastique spécifique pour impression. Le souci, c’est que ce support coûte excessivement cher si vous avez une imprimante jet d’encre. C’est tout de suite plus abordable avec une imprimante laser. Les plus chanceux ont peut-être un photocopieur couleur à l’école et là, le problème est réglé : le plastique est plus abordable !

Si, comme moi, vous avez opté pour une imprimante jet d’encre (ce qui peut permettre en général de faire des économies comme je l’explique ici), vous préférerez sans doute imprimer sur du papier calque. D’ailleurs, vous en avez surement déjà dans votre classe. Peut-être même que vous avez hérité d’un stock si votre prédécesseur était plutôt fourmi que cigale. Dans ce cas, il faudra juste penser à bien laisser sécher l’encre avant de manipuler le papier. Personnellement, pour ne plus abimer mes documents, je les plastifie ensuite avec du plastique 80 microns. Ça suffit amplement.

Voici le résultat :

Carte à manipuler transparente - multiplications

Avec une feuille blanche en-dessous, on voit mieux la transparence.

Des exemples d’utilisation pour approfondir la multiplication

Voici quelques exemples de propriétés observables directement grâce à ce support. La liste n’est pas exhaustive. Souvent, on sort des programmes mais faire manipuler les produits de cette façon n’est pas sans intérêt. D’abord parce que cela permet de créer des liens entre les connaissances acquises, ce qui rend l’ancrage de chacune plus important. On augmente les chances que l’élève arrive à recourir aux connaissances ciblées par les programmes. Ensuite parce que nous savons désormais que plus un élève manipule un savoir, plus il a de chance de le mémoriser durablement à long terme. On améliore donc le potentiel de transfert des connaissances ciblées et leur mémorisation.

Par contre, il ne me semble pas nécessaire d’évaluer la maitrise des propriétés hors programme de la multiplication.

La commutativité de la multiplication

Multiplications commutativité

9 x 10 et 10 x 9 donnent le même résultat.

Vous remarquerez sans doute que chaque produit (sauf les carrés) sont représentés deux fois. Par exemple, vous aurez la carte “4 x 3” et “3 x 4”. Aussi, on peut présenter ces deux cartes et demander à l’élève (ou aux élèves) ce qu’il en pense. Est-ce que c’est pareil ou non ? Pourquoi ? Il pourra alors voir qu’on n’a pas le même nombre de lignes ou de colonnes. Pourtant, la quantité d’unités est la même. Mieux : si je superpose les deux cartes en tournant l’une des deux d’un quart de tour, je vois que chaque unité de l’une des cartes se superpose avec une unité de l’autre. Au final, ce n’est qu’une question de point de vue : “4 x 3” et “3 x 4” donnent le même résultat (la même quantité).

Multiplication sous forme de grille - commutativité

L’associativité de la multiplication

Plus difficile : l’associativité. C’est quelque chose que j’aime découvrir avec les élèves qui aiment creuser un peu pour aller plus loin. Eh oui, il ne s’agit pas forcément d’aider les élèves en difficulté mais aussi, pourquoi pas, de nourrir la curiosité des élèves qui ont envie d’en découvrir plus.

On peut se demander, par exemple, pourquoi “6 x 4” et “3 x 8” donnent le même résultat. L’expert sait que c’est parce que les deux peuvent encore se décomposer en “3 x 2 x 4”. On peut donc choisir “(3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24” ou “3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24”. Maintenant, ce n’est certainement pas ce qu’on demande aux élèves.

De ce fait, je vais fournir les cartes “6 x 4” et “3 x 8” et laisser les élèves réfléchir. Ils devront, mentalement, manipuler les unités et fonctionner par compensation. Peut-être alors découvriront-il l’associativité de la multiplication. Cela dit, je n’en fait pas un objectif d’apprentissage et je n’exige pas des élèves que leur explication soient d’une rigueur parfaite. Mon but est plus de leur laisser découvrir qu’on peut encore aller beaucoup plus loin.

On peut aussi envisager de donner les cartes “3 x 2”, “2 x 4”, “6 x 4” et “3 x 8”. On pourra même tenter d’introduire “3 x 4” dans un second temps, pour inciter l’élève à aller plus loin.

Rappelons que c’est grâce à cette propriété qu’on peut dire, par exemple, que pour trouver le résultat de la multiplication d’un nombre par 8, je cherche le double du résultat de la multiplication de ce nombre par 4. Si jamais tout cela vous semble obscur, je vous invite à lire mon article général sur la multiplication mais aussi sur les liens entre les tables de 2, 4 et 8 ou encore les tables de 3, 6 et 9.

La distributivité de la multiplication

Cette propriété est très utile lorsqu’on aborde le calcul réfléchi et qu’on effectue des multiplications par X, quand X est plus grand que 10.

En effet, multiplier par 15, par exemple, c’est multiplier par 10 d’une part, multiplier par 5 d’autre part et réunir les deux résultats (addition). On peut donc écrire que : 4 x 15 = 4 x 10 + 4 x 5 = 40 + 20 = 60. Pratique pour aller vite en calcul mental ensuite.

Dans certaines méthodes, on recourt justement à cette représentation en grille pour illustrer cette propriété. Rien n’interdit de l’observer déjà avec des facteurs inférieurs à 10. Là encore, pouvoir superposer deux cartes transparentes pourra aider.

Les fichiers

Chaque produit est présenté sur une page A4. Cependant, cela fait beaucoup de pages à imprimer. Je vous propose donc aussi un modèle A5 (que j’utilise) ou un modèle A6 qui peut être suffisant et plus économique si vous souhaitez faire manipuler toute la classe en même temps.

Chaque série existe en plusieurs couleurs : bleu (cyan) et jaune. Vous l’aurez deviné, quand on les superpose, on obtient des unités vertes.

Série bleue

Cartes à manipuler - multiplications - A4

Cartes à manipuler - multiplications - A5

Cartes à manipuler - multiplications - A6

Série jaune

Cartes à manipuler jaunes - multiplications - A4

Cartes à manipuler jaunes - multiplications - A5

Cartes à manipuler jaunes - multiplications - A6

  • A moins que les documents modifiables ne soient déjà à disposition dans l'article, je ne les fournirai pas. Il n'est donc pas utile de me les demander.
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